已知抛物线y=2x^2上有A(X1,Y2)B(X2,Y2)

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/13 09:50:10
已知抛物线y=2x^2上有A(X1,Y2)B(X2,Y2)两点，且A,B关于直线y=x+m对称，x1x2=-1/2，求实数m
A(X1,Y2)不是（X1,Y1)!

AB的纵坐标相等，所以关于对称轴x=0对称
所以x1=-x2
x1x2=-1/2
假设A在左
则x1=-√2/2,x2=√2/2
y2=2x1^2=1
所以AB中点(0,1)

AB关于直线y=x+m对称
所以AB中点在y=x+m上
所以1=0+m
m=1

Y1=2X1^2;Y2=2X2^2
所以Y1-Y2=2(X1+X2)(X1-X2)
从而有Y1-Y2/X1-X2=2(x1+x2)=-1;
所以x1+x2=-1/2,x1x2=-1/2由伟达定理它们为x^2-1/2x-1/2=0的两个根；
y1+y2=2(x1^2+x2^2)=2[(x1+x2)^2-2x1x2]=2*[1/4+1]=5/2
所以(x1+x2)/2=-1/4;(y1+y2)/2=5/4
则有5/4=-1/4+m所以m=6/4=3/2

因为A,B关于直线y=x+m对称，所以直线AB的斜率为-1即
Y2-Y1=X1-X2
2X2^2-2X1^2=X1-X2
所以X1+X2=-1/2
（X1+X2）/2=-1/4
Y1+Y2=2X1^2+2X2^2=2(X1+X2)^2-4X1X2=5/2
(Y1+Y2)/2=5/4
所以（-1/4，5/4）在y=x+m上，即5/4=-1/4+m
m=1.5

因为A,B关于直线y=x+m对称
所以(y1-y2)/(x1-x2)=-1
(y1+y2)/2=(x1+x2)/2+m
因为A(X1,Y2)B(X2,Y2)两点在抛物线y=2x^2上
所以(2x1^2-2x2^2)/(x1-x2)=-1——x1+x2=-0.5
(2x1^2+2x2^2)/2=-0.5/2+m——2(（x1+x2)^2-2x1x2)/2=-0.25+m——
m=-1/2